Aprender matemáticas con las manos

Aprender conceptos o tareas que impliquen alto nivel de abstracción es complicado incluso para los adultos, pero todos empezamos a darnos cuenta mucho antes, en el colegio. Pongámonos en los zapatos de aquel profesor que nos enseñó matemáticas en el instituto. Seguro que nos es fácil empatizar con sus esfuerzos y sus probables momentos de desesperación o impotencia al intentar expresar de manera inteligible algunos conceptos del temario. La cuestión es que, siendo este tipo de contenidos especialmente complejos de aprender y de enseñar, tampoco vemos que se impartan de una manera muy diferente al resto de las asignaturas. Mi profesor tenía su pizarra, sus tizas (a veces de colores) y su imaginación para poner ejemplos. Profesor, ¿puede la psicología actual ayudarle un poco en su trabajo, aunque mi consejo llegue con 20 años de retraso? Mi respuesta es que sí puede ayudar, al menos a ciertas edades, y es lo que vamos a tratar en este post.

El problema del razonamiento matemático es su nivel de abstracción. Requiere aplicar reglas y operaciones sobre objetos «internos», representaciones simbólicas de objetos que no están presentes y a la vista, sólo están «en nuestra cabeza», dicho esto de una manera un tanto coloquial. Por ejemplo, el número cuatro es un símbolo que representa una cantidad concreta, pero en sí carece de propiedades que indiquen qué está representando. Ya desde hace mucho tiempo (Piaget, 1953) se sabe que los niños tienen mayor facilidad para realizar operaciones sobre objetos físicos que sobre objetos «internos» o simbólicos. Por ejemplo, antes de que el niño aprenda a sumar dos números «con llevadas», ya será capaz de realizar la misma operación ayudándose con objetos físicos como bloques de Lego, simplemente cogiendo las piezas separadas y colocándolas literalmente en sus lugares correspondientes. La mayor facilidad de esta segunda tarea reside en que la actuación es sobre objetos físicos, realizando movimientos motores con los que el niño está familiarizado, y no sobre objetos simbólicos como los números, que no permiten intervenciones físicas y cuyo significado además requiere ser aprendido previamente.

A partir de aquellas observaciones, los investigadores han ido tirando del hilo. Parecería lógico suponer que, al menos en los niños más jóvenes que empiezan a tomar contacto con las matemáticas, sería beneficioso trabajar con objetos físicos reales, como bloques de madera o de Lego, antes de pasar a los objetos simbólicos como se hace habitualmente, con cuaderno y lapicero. Se trata de realizar movimientos reales sobre objetos físicos que son una analogía de las operaciones abstractas sobre símbolos que después van a tener que aprender.

Esta estrategia se ha puesto en práctica, pero con resultados que no son del todo alentadores. El principal motivo para el pesimismo es que, una vez aprendida la operación matemática (por ejemplo, sumar con llevadas) sobre los objetos físicos, a veces se hace difícil que los niños transfieran ese aprendizaje a la misma tarea con objetos simbólicos (es decir, con números). Esto tiene lógica: el niño acaba enfocando su atención en aspectos irrelevantes de la tarea como los colores y el tacto de los objetos, en vez de obviarlos y quedarse con lo esencial de la analogía entre el movimiento motor de los bloques y la operación abstracta que representa.

En un artículo publicado este año, Miriam Novack y sus colaboras de la Universidad de Chicago (Novack y cols., 2014) describen un procedimiento que puede solucionar este problema. Las investigadoras advierten que hay otro tipo de movimientos motores que las personas realizamos constantemente, los gestos, que están a medio camino entre la intervención literal sobre objetos físicos y la operación simbólica. Los gestos manuales implican movimientos de las manos pero no requieren un objeto físico sobre el que actuar directamente. De hecho, los gestos suelen ser representaciones de acciones sobre objetos físicos. Y esto a pesar de que no siempre se parezcan a los movimientos motores que implican esas acciones. Digamos que son estilizaciones o versiones abstractas de dichos movimientos. Esto tiene una ventaja fundamental si se trata de aprovechar la clase de matemáticas: con los gestos, más abstractos que los movimientos literales sobre objetos físicos, hay menos peligro de que el aprendiz se distraiga con detalles irrelevantes para el problema.

¿Cómo usar gestos manuales para resolver problemas matemáticos? Imaginemos el siguiente problema de equivalencia donde el niño debe rellenar el hueco:

4 + 3 + 6 = _ + 6.

Para hacer bien el ejercicio, el niño tiene que darse cuenta de que debe sumar 4 + 3 y llevarlo al otro miembro de la ecuación. Un gesto que podría usarse para representar esta acción consiste en hacer el signo de la letra «V» con dos dedos de una mano, señalando los dos números (4 y 3, a la izquierda), y después moverse a la derecha y señalar con el dedo índice al hueco en blanco, indicando que la solución consiste en «agrupar» los dos números. En estudios anteriores (Goldin-Meadow y cols., 2009), se comprobó cómo unos niños a los que se enseñó este gesto para resolver el problema fueron capaces de extraer la regla correcta (sumar los dos números) incluso aunque nunca se les dijo explícitamente en qué consistía (parece que el gesto de cambiar una «V» por un dedo índice es bastante informativo en sí mismo). Más sorprendente aún: incluso cuando a los niños se les indicaba el par de números equivocado, éstos espontáneamente resolvían el problema de forma correcta, lo cual indica que fueron capaces de extraer la lógica subyacente del mismo, más allá de qué números les indicase el profesor.

En el estudio de Novack y cols. (2014) se intentó dar respuesta a la pregunta que más interesará a los profesores que quieran poner en práctica estas técnicas: ¿qué estrategia funciona mejor? ¿Deberíamos empezar «sumando bloques de Lego», o es preferible que vayamos pensando en gestos que representen las operaciones que queremos transmitir? Para ello, las autoras diseñaron un experimento con tres grupos de aproximadamente 30 niños de unos 10 años de edad, y en cada uno pusieron en práctica una técnica de enseñanza diferente.

• En el primer grupo, se enseñó a los niños a resolver problemas de equivalencia como el explicado más arriba mediante manipulación directa de objetos físicos, que en este caso eran fichas de madera con los números marcados en relieve. Los niños debían coger las fichas, que estaban pegadas en una pizarra magnética, y moverlas de uno a otro lado.
• En el segundo grupo, la técnica consistió en un gesto manual que imitaba fielmente el movimiento de trasladar de sitio las fichas, pero sin tocarlas.
• Por último, en el tercer grupo se empleó la ya comentada técnica del gesto en «V», que no implica tocar las fichas ni tampoco se parece exactamente al movimiento que haríamos al recogerlas de la pizarra.

Como se puede apreciar, estos tres grupos implican realizar movimientos con las manos, pero se ordenan en una gradiente de menor a mayor abstracción y estilización del movimiento.
Tras un entrenamiento con algunas variantes del problema de equivalencia ya mencionado, todos los niños pasaron por un «examen» donde tuvieron que resolver problemas nuevos, es decir, no entrenados. Algunos de esos ejercicios del examen eran variantes que podían ser abordadas con la estrategia de agrupación que hemos estado viendo hasta ahora. Sin embargo, también se incluyeron problemas que no podían resolverse directamente con la estrategia de agrupamiento, sino que requerían una comprensión más profunda de la operación implicada: por ejemplo, en la ecuación 2 + 5 + 3 = _ + 6, ninguno de los sumandos del primer miembro se repite en el miembro de la derecha, y por tanto la tarea no es resoluble con la aplicación directa del agrupamiento y hace falta un nivel de comprensión más profundo. Por eso a éstos los vamos a llamar «ejercicios difíciles».

Los resultados del estudio indican que, como avanzamos anteriormente, la enseñanza basada en manipulación de objetos físicos tiene una generalización muy pobre: apenas un 20% de los niños en esta condición fue capaz de resolver en el examen los problemas nuevos pero similares, y menos de un 15% consiguió hacer bien los ejercicios difíciles que requerían una comprensión profunda de la operación. Probablemente las propiedades físicas de las fichas atrajeron la atención de los niños hacia aspectos irrelevantes de la tarea. Por su parte, la técnica de enseñanza basada en gestos que imitaban fielmente los movimientos de las manos al mover las fichas obtuvo mejores resultados (aproximadamente un 25% de los problemas difíciles). Pero sin duda la gran campeona fue la condición en la que los niños tuvieron que aprender mediante un gesto abstracto (el gesto de la «V» y el dedo índice). Lo interesante es que más del 50% de los niños que aprendieron con este gesto estilizado resolvieron correctamente los problemas difíciles, que requerían ir más allá de la agrupación de sumandos. Como técnica para enseñar el procedimiento de agrupación y suma, el uso del gesto en «V» fue la más exitosa.

Así que hay esperanza para ti, profesor de matemáticas que te desesperas por el bien de tus estudiantes. La ciencia avanza. Pero eso sí, avanza despacio, que aquí hemos tratado el caso de operaciones aritméticas sencillas. Tardaremos un poco en llegar a las partes más duras de tu temario. Hasta entonces, paciencia y ánimo.

Referencias:

• Goldin-Meadow, S., Cook, S. W., & Mitchell, Z. A. (2009). Gesturing gives children new ideas about math. Psychological Science,  20, 267–272.
• Novack, M. A., Congdon, E. L., Hemani-Lopez, N., y Goldin-Meadow, S. (2014). From Action to Abstraction: Using the Hands to Learn Math. Psychological Science, 25, 903-910.
• Piaget, J. (1953, November). How children form mathematical concepts. Scientific American, 189, 74–79.